Referencia de fórmulas matemáticas

Un lugar rápido para revisar una fórmula sin buscar en apuntes viejos. Reúne las fórmulas que más aparecen en álgebra, geometría, trigonometría y estadística básica, no todas las que existen.

Álgebra

Fórmula cuadrática, para resolver $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (con $\vA{a} \ne 0$ ):

x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}

Lo que va dentro de la raíz, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$ , es el discriminante: si es positivo hay dos soluciones reales, si es cero hay una y si es negativo no hay soluciones reales.

Pendiente de la recta que pasa por $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ :

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Forma pendiente-intersección y forma punto-pendiente de una recta:

\begin{aligned} y &= mx + b \\[0.6em] y - y_1 &= m(x - x_1) \end{aligned}

Distancia entre dos puntos y su punto medio:

\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\[0.6em] M &= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \end{aligned}

Exponentes y logaritmos

Regla	Fórmula
Producto	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Cociente	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Potencia de una potencia	$(a^m)^n = a^{mn}$
Exponente cero y negativo	$a^0 = 1, \quad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
Exponentes fraccionarios	$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$
Definición de logaritmo	$\log_b x = y \iff b^y = x$
Logaritmo de un producto	$\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$
Logaritmo de un cociente	$\log_b \dfrac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$
Logaritmo de una potencia	$\log_b x^n = n \log_b x$
Cambio de base	$\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}$

Geometría

Figura	Área	Perímetro
Rectángulo	$lw$	$2(l + w)$
Triángulo	$\tfrac{1}{2}bh$	suma de los tres lados
Círculo	$\pi r^2$	$2\pi r$ (circunferencia)
Trapecio	$\tfrac{1}{2}(b_1 + b_2)h$	suma de los cuatro lados
Paralelogramo	$bh$	$2(a + b)$

Cuerpo	Volumen	Área superficial
Prisma rectangular	$lwh$	$2(lw + lh + wh)$
Cilindro	$\pi r^2 h$	$2\pi r^2 + 2\pi r h$
Cono	$\tfrac{1}{3}\pi r^2 h$	$\pi r^2 + \pi r s$ ( $s$ = generatriz)
Esfera	$\tfrac{4}{3}\pi r^3$	$4\pi r^2$

Teorema de Pitágoras, para un triángulo rectángulo con catetos $\vA{a}$ y $\vB{b}$ e hipotenusa $\vC{c}$ :

\vA{a}^2 + \vB{b}^2 = \vC{c}^2

Longitud de arco y área de un sector para un ángulo $\theta$ en radianes:

\begin{aligned} s &= r\theta \\[0.6em] A &= \tfrac{1}{2} r^2 \theta \end{aligned}

Trigonometría

Para un ángulo $\theta$ de un triángulo rectángulo:

\begin{aligned} \operatorname{sen}\theta &= \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \\[0.6em] \cos\theta &= \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \\[0.6em] \tan\theta &= \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \end{aligned}

La identidad pitagórica, válida para todo ángulo:

\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1

Para cualquier triángulo con lados $a, b, c$ opuestos a los ángulos $A, B, C$ , la ley de los senos y la ley de los cosenos:

\begin{aligned} \frac{a}{\operatorname{sen} A} &= \frac{b}{\operatorname{sen} B} = \frac{c}{\operatorname{sen} C} \\[0.6em] c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos C \end{aligned}

Para pasar de grados a radianes: $\pi \text{ rad} = 180^\circ$ .

Estadística y probabilidad

Media de $n$ valores y desviación estándar muestral:

\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{\sum x_i}{n} \\[0.6em] s &= \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} \end{aligned}

Puntuación z: a cuántas desviaciones estándar está un valor de la media.

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Error porcentual entre un valor medido y uno aceptado:

\text{error porcentual} = \frac{\lvert \text{medido} - \text{aceptado} \rvert}{\lvert \text{aceptado} \rvert} \times 100\%

Probabilidad básica: el complemento, e “y” para eventos independientes.

\begin{aligned} P(\text{no } A) &= 1 - P(A) \\[0.6em] P(A \text{ y } B) &= P(A) \cdot P(B) \end{aligned}

Errores comunes

Olvidar el ± de la fórmula cuadrática. La mayoría de las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones; calcula ambas.
Usar grados donde se esperan radianes. La longitud de arco, el área de un sector y casi todo el cálculo suponen radianes. Revisa el modo de tu calculadora.
Dividir entre $n$ en vez de $n - 1$ . La desviación estándar muestral divide entre $n - 1$ ; dividir entre $n$ da la versión poblacional.
Confundir las unidades de área y de perímetro. El área va en unidades cuadradas (cm²); el perímetro, en unidades simples (cm).

Preguntas frecuentes

¿Están aquí todas las fórmulas que podría necesitar?

No. Reúne las fórmulas que más aparecen en álgebra, geometría, trigonometría y estadística básica. Para cálculo, álgebra lineal o temas más especializados, tu libro de texto o tus apuntes del curso son la fuente completa.

¿Por qué la fórmula cuadrática tiene un ±?

Porque una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones. Calcúlala una vez sumando la raíz y otra restándola. Si el discriminante es cero hay una sola solución, y si es negativo no hay soluciones reales.

¿Mi calculadora debe estar en grados o en radianes?

Usa la unidad en la que el problema da el ángulo. Fórmulas como la longitud de arco y el área de un sector de esta página necesitan radianes, igual que casi todo el cálculo. Si una respuesta trigonométrica parece muy rara, revisa primero el modo.

¿Qué diferencia hay entre la desviación estándar muestral y la poblacional?

La muestral divide entre n - 1 y es la que usas cuando tus datos son una muestra de un grupo más grande, que es lo habitual en clase. La poblacional divide entre n y solo sirve para datos que abarcan todo el grupo.

¿Qué son las letras de colores en algunas fórmulas?

Siguen una misma cantidad a lo largo de la fórmula para que veas dónde va cada valor. En la fórmula cuadrática, por ejemplo, a, b y c tienen el mismo color en la ecuación y en la solución. El color es solo una guía; las letras significan lo mismo sin él.

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Fuentes